Question

若三个非零且互不相等的实数a、b、c满足

1

a

+

1

b

=

2

c

，则称a、b、c是调和的；若满足a+c=2b，则称a、b、c是等差的．若集合P中元素a、b、c既是调和的，又是等差的，则称集合P为“好集”．若集合M={x||x|≤2014，x∈Z}，集合P={a，b，c}⊆M．则：
（1）“好集”P中的元素最大值为

 

；
（2）“好集”P的个数为

 

．

Answer 1

考点：元素与集合关系的判断

专题：计算题,集合

分析：（1）根据“好集”的定义，可解关于a，b，c的方程组，用b把另外两个元素表示出来，再根据“集合M={x||x|≤2014，x∈Z}，集合P={a，b，c}⊆M”构造出关于b的不等式，求出P中最大的元素．
（2）结合第一问的结果，因为b是整数，可以求出b的最大值，从而确定p的个数．

解答： 解：（1）∵

1

a

+

1

b

=

2

c

，且a+c=2b，
∴（a-b）（a+2b）=0，
∴a=b（舍），或a=-2b，∴c=4b，
令-2014≤4b≤2014，得-503≤b≤503，
∴P中最大元素为4b=4×503=2012；
（2）由（1）知P={-2b，b，4b}
且-503≤b≤503，
∴“好集”P的个数为2×503=1006．
故答案为（1）2012，（2）1006．

点评：这是一道新定义题，关键是理解好题意，将问题转化为方程（组）或不等式问题，则问题迎刃而解．