Question

函数f（x）=

(a-1)x-a  (x＜1) loga(x+1)   (x≥1)

，（a＞0且a≠1）是R上的减函数，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：对数函数的单调性与特殊点

专题：函数的性质及应用

分析：先分x＜1和x≥1时函数分别递减，然后只需满足x＜1时的最小值大于或等于x≥1时的最大值，则问题可求解．

解答： 解：（1）当x＜1时，要使函数f（x）=（a-1）x-a递减，只需a-1＜0，∴a＜1；
（2）当x≥1时，要使f（x）=log_a（x+1）递减，只需0＜a＜1；
又因为f（x）在R上递减，∴（a-1）×1-a≥log_a（1+1），即log_a2≤-1=log_a

1

a

，结合0＜a＜1，
∴0＜

1

a

≤2，∴a≥

1

2

，再结合（1）（2）可得

1

2

≤a＜1．
故答案为：[

1

2

，1）

点评：分段函数的单调性问题，先研究函数在每一段上的单调性，然后再结合该函数在整个定义域上的单调性分别构造有关参数的不等式（组）求解；要注意“节点”处的函数值间的关系．