Question

设f（x）=x²-（k+1）x+k
（1）若关于x的不等式f（x）＜0为（1，2），求实数k的值；
（2）设k＞1且k≠2，求关于x的不等式

f(x)

2-x

＜0的解集．

Answer 1

考点：其他不等式的解法,一元二次不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）由题意可得 1和2是x²-（k+1）x+k=0的两个根，由韦达定理可得 k的值．
（2）设k＞1且k≠2，关于x的不等式即

(x-1)(x-k)

x-2

＞0．
当k＞2时，和 1＜k＜2两种情况，分别利用穿根法求得不等式的解集．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²-（k+1）x+k，不等式f（x）＜0为（1，2），
∴1和2是x²-（k+1）x+k=0的两个根，由韦达定理可得1×2=k，即 k=2．
（2）设k＞1且k≠2，关于x的不等式

f(x)

2-x

＜0，即

(x-1)(x-k)

2-x

＜0，
即

(x-1)(x-k)

x-2

＞0．
当k＞2时，利用穿根法求得不等式的解集为{x|1＜x＜2，或x＞k}；
当 1＜k＜2时，利用穿根法求得不等式的解集为{x|1＜x＜k，或x＞2}．

点评：本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，体现了转化、分类讨论、数形结合的数学思想，属于基础题．