Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=a，AA₁=2a．
（1）求证：平面AB₁D₁∥平面C₁BD；
（2）求两平面AB₁D₁与C₁BD之间的距离．
（注：两平行平面之间的距离是其中一个平面上任意一点到另一个平面的距离）

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,平面与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知条件推导出BB₁D₁D是平行四边形，BD∥B₁D₁，从而得到B₁D₁∥平面C₁BD，同理AD₁∥平面C₁BD，由此能证明平面AB₁D₁∥平面C₁BD．
（2）法一：连接B₁D，得三棱锥B₁-C₁BD，设平面AB₁D₁与C₁BD之间的距离为h，由此利用等积法能求出平面AB₁D₁与C₁BD之间的距离．
（2）法二：连接AC、A₁C₁，设AC∩BD=O、A₁C₁∩B₁D₁=O₁，连接OO₁、C₁O，作O₁E⊥C₁O，垂足为E，由已知条件推导出O₁E是平面C₁BD与平面AB₁D₁之间的距离，由此能求出结果．

解答： （1）证明：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，
∴BB₁∥AA₁∥DD₁，BB₁=AA₁=DD₁…（1分）
∴BB₁D₁D是平行四边形，BD∥B₁D₁…（2分）
又B₁D₁?平面C₁BD，BD?平面C₁BD，∴B₁D₁∥平面C₁BD…（4分）
同理AD₁∥平面C₁BD…（5分）
又AD₁∩B₁D₁=D₁，∴平面AB₁D₁∥平面C₁BD…（6分）
（2）解法一：连接B₁D，得三棱锥B₁-C₁BD，设平面AB₁D₁与C₁BD之间的距离为h，
依题意，VB1-C1BD=

1

3

×S△C1BD×h…（7分）
VB1-C1BD=VD-BB1C1=

1

3

×S△BB1C1×CD=

1

3

×

1

2

×BB1×B1C1×CD=

1

3

a3…（9分）
连接AC，设AC∩BD=O，连接C₁O，则BO=DO=

2

2

a…（10分）
BC1=DC1=

5

a…（11分）
从而C₁O⊥BD，且C1O=

BC12-BO2

=

3 2

2

a…（12分）

1

3

×

1

2

×BD×C1O×h=

1

3

a3，即

1

3

×

1

2

×

2

a×

3 2

2

a×h=

1

3

a3…（13分）
解得h=

2

3

a，∴平面AB₁D₁与C₁BD之间的距离为

2

3

a…（14分）
（2）解法二：连接AC、A₁C₁，设AC∩BD=O、A₁C₁∩B₁D₁=O₁，
连接OO₁、C₁O，作O₁E⊥C₁O，垂足为E…（7分）
依题意，A₁A⊥平面ABCD，所以A₁A⊥BD…（8分）
ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，AB=BC，
∴AC⊥BD，A₁A∩AC=A，∴BD⊥平面ACC₁A₁…（9分）
∵BD?平面C₁BD，∴平面C₁BD⊥平面ACC₁A₁…（10分）
∵O₁E⊥平面C₁BD，∴O₁E是平面C₁BD与平面AB₁D₁之间的距离…（11分）
在△OO₁C₁中，OO₁=AA₁=2a，O1C1=

2

2

a…（12分）
OO₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，∠OO1C1=900，OC1=

OO12+O1C12

=

3 2

2

a…（13分）
∴所求距离O1E=

OO1×O1C1

OC1

=

2

3

a…（14分）．

点评：本题考查平面与平面平行的证明，考查两平行平面间距离的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．