Question

已知a∈R，函数f（x）=x|x-a|．
（Ⅰ）当a=2时，作出图形并写出函数y=f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当a=-2时，求函数y=f（x）在区间(-

2

-1，2]的值域；
（Ⅲ）设a≠0，函数f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，请分别求出m、n的取值范围（用a表示）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x|x-2|=

x2-2x，x≥2 -x2+2x，x＜2

，作出图象即可写出函数y=f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当a=-2时，f（x）=x|x+2|=

x2+2x，x≥-2 -x2-2x，x＜-2

，可求得函数y=f（x）在区间(-

2

-1，2]的值域为[-1，8]；
（Ⅲ）设a≠0，f（x）=x|x-a|=

x2-ax，x≥a -x2+ax，x＜a

，函数f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，须m＜

a

2

，n＞a．

解答：解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x|x-2|=

x2-2x，x≥2 -x2+2x，x＜2

，作出图象，

由图可知，函数y=f（x）的单调递增区间为（-∞，1]，[2，+∞）；
（Ⅱ）当a=-2时，f（x）=x|x+2|=

x2+2x，x≥-2 -x2-2x，x＜-2

，

∵f（-1-

2

）=-(-1-

2

)2-2（-1-

2

）=-1，f（-1）=（-1）²+2×（-1）=-1，f（2）=4+4=8，
∴函数y=f（x）在区间(-

2

-1，2]的值域为[-1，8]；
（Ⅲ）∵a≠0，f（x）=x|x-a|=

x2-ax，x≥a -x2+ax，x＜a

，函数f（x）有两个零点：0和a，
若a＞0，在（-∞，

a

2

）上单调递增，在（

a

2

，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．
为使在区间（m，n）上既有最大值又有最小值，必须0≤m＜

a

2

，n≤

1+ 2

2

a．
若a＜0，在（-∞，a）上单调递增，在（a，

a

2

）上单调递减，在（

a

2

，+∞）上单调递增．
为使在区间（m，n）上既有最大值又有最小值，必须m≥

1+ 2

2

a，n≤0．

点评：本题考查带绝对值的函数，着重考查分段函数的图象与性质，考查函数的单调性，最值，考查化归思想，数形结合思想，分类讨论思想的综合运用，属于难题．