Question

如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=

7

．
（Ⅰ）求cos∠CAD的值；
（Ⅱ）若cos∠BAD=-

7

14

，sin∠CBA=

21

6

，求BC的长．

Answer 1

考点：解三角形的实际应用

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）利用余弦定理，利用已知条件求得cos∠CAD的值．
（Ⅱ）根据cos∠CAD，cos∠BAD的值分别，求得sin∠BAD和sin∠CAD，进而利用两角和公式求得sin∠BAC的值，最后利用正弦定理求得BC．

解答： 解：（Ⅰ）cos∠CAD=

AC2+AD2-CD2

2•AD•AC

=

1+7-4

2×1× 7

=

2 7

7

．
（Ⅱ）∵cos∠BAD=-

7

14

，
∴sin∠BAD=

1- 7 196

=

3 21

14

，
∵cos∠CAD=

2 7

7

，
∴sin∠CAD=

1- 4 7

=

21

7

∴sin∠BAC=sin（∠BAD-∠CAD）=sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD=

3 21

14

×

2 7

7

+

7

14

×

21

7

=

3

2

，
∴由正弦定理知

BC

sin∠BAC

=

AC

sin∠ABC

，
∴BC=

AC

sin∠ABC

•sin∠BAC=

7

21 6

×

3

2

=3

点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，三角函数恒等变换的应用．考查了学生对基础知识的综合运用．