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已知三棱锥的底面是直角三角形,且平面是线段的中点,如图所示.

(Ⅰ)证明:平面
(Ⅱ)求三棱锥的体积.
(1)证明线面垂直一般通过线线垂直来证明线面垂直,关键是对于的证明。
(2)

试题分析:(Ⅰ)证明:因为D是线段PC的中点,所以 (1)
因为,所以平面 可得    (2)
由(1)(2)得平面                            (6)
(Ⅱ)因为点是线段的中点,所以点到平面的距离等于点到平面的距离的一半。因此                         (9)
,又,且
所以   即得即三棱锥的体积为.       12分
点评:解决关键是利用线面垂直的判定定理来证明垂直,同时利用的等体积法来求解 锥体的体积,属于基础题。
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

关于两条不同的直线,与两个不同的平面,,下列正确的是(     )
A.,则
B.,则
C.,则
D.,则

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图所示的几何体中,四边形为矩形,为直角梯形,且 = = 90°,平面平面,

(1)若的中点,求证:平面
(2)求平面与平面所成锐二面角的大小.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

是空间三条不同的直线,是空间两个不同的平面,则下列命题中,逆命题不正确的是(  )
A.当时,若,则
B.当时,若,则
C.当内的射影时,若,则
D.当时,若,则

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在四棱锥中,底面是矩形,侧棱⊥底面的中点,的中点.

(1)证明:平面
(2)若为直线上任意一点,求几何体的体积;

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,则截面与底面之间的部分叫棱台。
如图,在四棱台中,下底是边长为的正方形,上底是边长为1的正方形,侧棱⊥平面.

(Ⅰ)求证:平面
(Ⅱ)求平面与平面夹角的余弦值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

长方体中,底面是正方形,上的一点.

⑴求异面直线所成的角;
⑵若平面,求三棱锥的体积;

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在棱长为1的正方体中.

⑴求异面直线所成的角;
⑵求证:平面平面

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,平面ABCD⊥平面ABEF,又ABCD是正方形,ABEF是矩形,且GEF的中
点.

(1)求证:平面AGC⊥平面BGC;
(2)求GB与平面AGC所成角的正弦值.

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