Question

6．已知${（\root{3}{x^2}+3x）^n}$展开式中各项系数的和比它的二项式系数的和大4032．
（Ⅰ）求展开式中含x⁴的项；
（Ⅱ）求展开式中二项式系数最大的项．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令x=1求出展开式各项系数和，与二项式系数和作差求得n，写出二项展开式的通项，由x的指数为4求出r，即可求得展开式中含x⁴的项；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得展开式中第4项的二项式系数最大，即r=3，代入通项得答案．

解答 解：（Ⅰ）令x=1得展开式各项系数和为4ⁿ，而二项式系数和为$C_n^0+C_n^1+…+C_n^n={2^n}$，
由题意得4ⁿ-2ⁿ=4032，即（2ⁿ-64）（2ⁿ+63）=0，得2ⁿ=64或2ⁿ=-63，
又∵n∈N^*，∴2ⁿ=64，故n=6，
二项展开式的第r+1项为${T_{r+1}}={3^r}•C_6^r•{x^{\frac{12+r}{3}}}$，
令$\frac{12+r}{3}=4$，得r=0，
∴展开式中含x⁴的项为${T_1}={3^0}•C_6^0•{x^4}={x^4}$；
（Ⅱ）∵n=6，∴展开式中第4项的二项式系数最大，
即${T_{3+1}}={3^3}•C_6^3•{x^{\frac{12+3}{3}}}=540{x^5}$．

点评 本题考查二项式系数的性质，考查了二项式定理的应用，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．