Question

20．（1）求函数$f（x）={log_{2x-1}}\sqrt{3x-2}$的定义域；
（2）求函数$y={（\frac{1}{3}）^{{x^2}-4x}}\;\;，\;x∈[0，5）$的值域．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数的定义可得有意义的条件为$\left\{\begin{array}{l}{3x-2＞0}\\{2x-1＞0，且2x-1≠1}\end{array}\right.$，解得即可，
（2）先判断函数的单调性，根据函数的单调性即可求出函数的值域．

解答 解：（1）$f（x）={log_{2x-1}}\sqrt{3x-2}$有意义的条件为$\left\{\begin{array}{l}{3x-2＞0}\\{2x-1＞0，且2x-1≠1}\end{array}\right.$，
解得$\frac{2}{3}$＜x＜1或x＞1，
即f（x）的定义域为（$\frac{2}{3}$，1）∪（1，+∞），
（2）设t=x²-4x=（x-2）²-4，
则t=x²-4x在[0，2]上为减函数，在[2，5]上为增函数，
因为y=（$\frac{1}{3}$）^xR上为减函数，
所以函数y=（$\frac{1}{3}$）^t在[0，2]上为增函数，在[2，5]上为减函数，
当x=2时，函数有最大值，即为y=3⁴=81
当x=5时，函数有最小值，即为y=（$\frac{1}{3}$）⁵=$\frac{1}{243}$
故函数的值域为[$\frac{1}{243}$，81]

点评 本题考查了函数的定义域和函数的值域的求法，考查了学生的运算能力，属于中档题