Question

5．函数y=Atan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为（-$\frac{π}{2}$，0），（$\frac{π}{6}$，0），且过点（0，-3），求此函数的解析式．

Answer 1

分析 根据f（x）的周期为T=$\frac{π}{ω}$=$\frac{π}{6}$-（-$\frac{π}{2}$），求出ω，再由y的图象过点（$\frac{π}{6}$，0），（0，-3），求出A与φ的值即可得解函数解析式．

解答 解：∵根据题意，f（x）的周期为：T=$\frac{π}{ω}$=$\frac{π}{6}$-（-$\frac{π}{2}$）=$\frac{2π}{3}$，
解得：ω=$\frac{3}{2}$，
∴f（x）=Atan（$\frac{3}{2}$x+φ）；
又∵Atan（$\frac{3}{2}$×$\frac{π}{6}$+φ）=0，即$\frac{π}{4}$+φ=kπ，k∈Z，
解得φ=kπ-$\frac{π}{4}$，k∈Z，由于|φ|＜$\frac{π}{2}$，于是解得φ=-$\frac{π}{4}$．
又∵它的图象过点（0，-3），
∴Atan（$\frac{3}{2}$×0-$\frac{π}{4}$）=-3，即tan（-$\frac{π}{4}$）=-$\frac{3}{A}$=-1，解得A=3，
∴函数的解析式为y=3tan（$\frac{3}{2}$x-$\frac{π}{4}$）．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角函数解析式的求法问题，是基础题目．