Question

10．求经过点M（-3，2）和N（-5，-2），且圆心在直线2x-y+3=0上的圆的方程．

Answer 1

分析 由M和N的坐标求出直线MN的斜率，根据两直线垂直斜率的乘积为-1求出直线MN垂直平分线的斜率，根据垂径定理得到圆心在弦MN的垂直平分线上，又圆心在已知直线上，联立两直线方程组成方程组，求出方程组的解集，得到圆心C的坐标，再利用两点间的距离公式求出|MC|的长，即为圆的半径，由圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可．

解答 解：∵M（-3，2）和N（-5，-2），中点坐标（-4，0）
∴直线MN的斜率为$\frac{2+2}{-3+5}$=2，
∴直线MN垂直平分线的斜率为：$-\frac{1}{2}$，其方程为：y=-$\frac{1}{2}$（x+4），即x+2y+4=0
与直线2x-y+3=0联立解得：x=-2，y=-1，即所求圆的圆心C坐标为（-2，-1），
又所求圆的半径r=|MC|=$\sqrt{（-3+2）^{2}+（2+1）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
则所求圆的方程为（x+2）²+（y+1）²=10．

点评 本题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：直线斜率的求法，两直线垂直时斜率满足的关系，两点间的距离公式，以及两直线的交点坐标求法，其中根据垂径定理得出弦AB的垂直平分线过圆心是解本题的关键，是基础题．