Question

15．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，平面区域{（x，y）|-a≤x≤a，-b≤y≤b}的面积为8$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）如图，设F为椭圆的左焦点，直线l₁和l₂相较于点F，且l₁⊥l₂，直线l₁交x=-a于点M，直线l₂交x=a于点N．求证：直线MN与椭圆只有一个公共点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据椭圆的离心率，矩形的面积公式和a²=b²+c²，即可求得a和b的值，即可求得求得椭圆方程；
可得则△=b²-4ac=192k×$\frac{{k}^{2}-3k}{4k}$-48k²+144=0
则$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{[{k}_{0}（x+2）-k]^{2}}{3}$=1只有一个解，
即直线y=k₀（x+2）-k与椭圆只有一个交点，
于是直线MN与椭圆只有一个公共点，
∴直线MN与椭圆只有一个公共点．
（Ⅱ）由题意求得M点坐标，即可求得直线MN斜率为k₀=$\frac{{k}^{2}-3k}{4k}$及直线MN方程，代入椭圆方程，利用判别式△=b²-4ac=0，则直线MN与椭圆只有一个公共点．

解答 解：（Ⅰ）离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，则a=2c，①
平面区域{（x，y）|-a≤x≤a，-b≤y≤b}的面积为8$\sqrt{3}$，
可得2a•2b=8$\sqrt{3}$，即ab=2$\sqrt{3}$，②
又a²=b²+c²，③
a=2，c=1，b=$\sqrt{3}$，
则椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）证明：由（1）知，点F坐标为（-1，0）
由于直线l₁过点F、M，直线l₂过点F、N，
点F横坐标为-1，M横坐标为-a=-2≠-1，N横坐标为2≠-1，
则直线l₁、直线l₂均不垂直与x轴，于是直线l₁、直线l₂斜率均存在，
设直线l₁斜率为k，则解析式为y=k（x+1）=kx+k，
将x=-2代入，可得y=-k，则M点坐标为（-2，-k）
l₁⊥l₂，则直线l₂斜率为-$\frac{1}{k}$，解析式为y=-$\frac{1}{k}$（x+1）=-$\frac{1}{k}$x-$\frac{1}{k}$，
将x=2代入，可得y=-$\frac{3}{k}$，则点N坐标为（2，-$\frac{3}{k}$），
直线MN斜率为k₀=$\frac{-\frac{3}{k}-（-k）}{2-（-2）}$=$\frac{{k}^{2}-3}{4k}$，
解析式为y=k₀（x+2）-k
将y=k₀（x+2）-k代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$中，
整理得：（4k₀²+3）x²+（16k₀²-8kk₀）x+（16k₀²-16kk₀+4k²-12）=0，
△=b²-4ac=（16k₀²-8kk₀）²-4×（4k₀²+3）（16k₀²-16kk₀+4k²-12）=192kk₀-48k²+144，
将k₀=$\frac{{k}^{2}-3k}{4k}$代入，可得则△=b²-4ac=192k×$\frac{{k}^{2}-3}{4k}$-48k²+144=0
则$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{[{k}_{0}（x+2）-k]^{2}}{3}$=1只有一个解，
即直线y=k₀（x+2）-k与椭圆只有一个交点，
于是直线MN与椭圆只有一个公共点，
∴直线MN与椭圆只有一个公共点．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单性质，直线与椭圆的位置关系，考查直线与椭圆的交点问题，考查判别式的应用，考查计算能力，属于中档题．