Question

（本小题满分12分）已知双曲线：的一条渐近线为，右焦点到直线的距离为．

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）斜率为且在轴上的截距大于的直线与曲线相交于、两点，已知，若，证明：过、、三点的圆与轴相切．

Answer 1

（1）；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）设双曲线的方程，若焦点明确，设双曲线的标准方程，结合条件用待定系数法求出的值，若不明确，需分焦点在轴和轴上两种情况讨论；（2）解决直线和双曲线的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与双曲线的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.

试题解析：（1）依题意有，

∵

∴

∴，

∴

∴曲线的方程为 6分

（2）设直线的方程为，则，，的中点为

由 得

∴，

∵，即

∴（舍）或

∴， 点的横坐标为

∵

∴

∴过、、三点的圆以点为圆心，为直径

∵点的横坐标为

∴

∵

∴过、、三点的圆与轴相切 12分

考点：1、双曲线的标准方程；2、双曲线的综合问题.

考点分析： 考点1：双曲线的标准方程 考点2：双曲线的几何性质 试题属性

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