Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知圆：，点，，点在圆上，.

（1）求圆的方程；

（2）直线与圆交于，两点（点在轴上方），点是抛物线上的动点，点为的外心，求线段长度的最大值，并求出当线段长度最大时，外接圆的标准方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）的最大值为；

【解析】

（1）设，根据得到，转化为坐标表示，得到，即，从而得到圆的方程；

（2）由得到、的坐标，表示出线段的中垂线，令，得到的外心的坐标，由在抛物线上得，从而得到，再由基本不等式，得到其最大值，确定出点坐标，再求出外接圆的半径，得到所求圆的方程.

解：（1）设，则，

因为，所以

所以，

由上式得：，所以，所以圆的方程为.

（2）把代入圆的方程得，所以，，

作出线段的中垂线，则的外心为直线与轴的交点.

直线的方程为：.

当时，.

因为点在抛物线上，所以

所以.

由得，

所以，

.

当且仅当时，即时取到最大值.

此时点坐标为，所以外接圆的半径，

所以外接圆的标准方程为.