Question

【题目】如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，平面平面ABCD，，E是SB的中点，M是CD上任意一点．

（1）求证：；

（2）若，，平面SAD，求直线BM与平面SAB所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）．

【解析】

（1）取的中点，连接，证明平面，来证明；（2）先根据平面得到为线段的中点，再证得平面，所以为直线与平面所成的角，即可求解，也可建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解．

（1）取的中点，连接，

又是的中点，所以，

因为四边形是矩形，所以，则，所以四点共面，平面，

因为，平面平面，平面平面，

所以平面，

又平面，所以，所以，

因为是的中点，所以，

又，所以平面，所以；

（2）解法一：

因为平面平面，平面平面，

所以．

又，所以四边形为平行四边形，

所以，所以为的中点，

由（1）知，平面，

又平面，所以，

又，所以平面．

又，所以平面，

所以为直线与平面所成的角，

在中，易得，

所以，即直线与平面所成角的正弦值为.

解法二：

因为平面平面，平面平面，

所以，

又，所以四边形为平行四边形，

所以，所以为的中点，

因为，所以，

过点作平面的垂线，作为轴，以所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

，

设平面的法向量为，

则，即，得，

令，则，所以为平面的一个法向量，

设直线与平面所成的角为，

则，

即直线与平面所成角的正弦值为．