Question

【题目】已知F(0,1)为平面上一点，H为直线l：y=﹣1上任意一点，过点H作直线l的垂线m，设线段FH的中垂线与直线m交于点P，记点P的轨迹为Γ.

（1）求轨迹Γ的方程；

（2）过点F作互相垂直的直线AB与CD，其中直线AB与轨迹Γ交于点AB，直线CD与轨迹Γ交于点CD，设点M，N分别是AB和CD的中点.

①问直线MN是否恒过定点，如果经过定点，求出该定点，否则说明理由；

②求△FMN的面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1）.（2）①恒过定点，定点为(0，3)②4

【解析】

（1）设P的坐标，由题意可得|PF|=|PH|，整理可得P的轨迹方程；

（2）①由题意可得直线BA，CD的斜率都存在，设直线AB的方程与抛物线联立求出两根之和，进而求出AB的中点M的坐标，同理可得N的坐标，进而求出直线MN的斜率，再求直线MN的方程，可得恒过定点；

②因为直线MN恒过定点，所以得S△FMN|xM﹣xN|，由均值不等式可得△FMN的面积的最小值为4.

（1）设P的坐标(x，y)由题意可得|PF|=|PH|，

所以|y+1|，

整理可得x2=4y，

所以轨迹Γ的方程：x2=4y；

（2）由题意可得直线AB，CD的斜率均存在，设直线AB的方程：y=kx+1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

直线与抛物线联立，整理可得：x2﹣4kx﹣4=0，x1+x2=4k，y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2，

所以AB的中点M(2k，2k2+1)，

同理可得N(1)，

所以直线MN的斜率为，

所以直线MN的方程为：y﹣(2k2+1)=(k)(x﹣2k)，

整理可得y=(k)x+3，所以恒过定点Q(0，3).

①所以直线恒过定点(0，3)；

②从而可得S△FMN|xM﹣xN||2k|=2|k|≥4，当时取得等号.

所以△FMN的面积的最小值为4.