Question

【题目】已知函数（为实常数且）．

（Ⅰ）当时；

①设，判断函数的奇偶性，并说明理由；

②求证：函数在上是增函数；

（Ⅱ）设集合，若，求的取值范围（用表示）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）①见解析，②见解析，（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）①确定函数的解析式，然后利用函数的定义域，及g（-x）=g（x）,g判断函数的奇偶性；②利用二次函数与复合函数的单调性的，可证得函数的单调性

（Ⅱ）将原问题转化为恒成立的问题，结合恒成立的条件即可求得实数λ的范围．

（Ⅰ）①函数为偶函数，证明如下：

当a=1，b=3时， ，∴g(x)＝f(x+2)＝ ，

其定义域为{x|x≠1且x≠-1}，函数的定义域关于坐标原点对称，

g(-x)==g(x),故g（x）是偶函数.

② ，

令u（x）= ，

易知u（x）在上是增函数，u（x）的值域为[-1,0), f（u）=在[-1,0)上增函数，故在上是增函数.

（Ⅱ）因为M∩N=，所以函数y=f（x）与y=的图象无公共点，
即方程 （﹡）无无实解,

,

当λ=0时,方程无解，显然符合题意，

当λ≠0时，令y＝(xa)(xb) = ，

令t=，则y= ，

当t=时，ymin=，

所以，要使（﹡）无实数解，只要 ，

综上，