[题目]如图.在四棱柱中.底面是等腰梯形..顶点在底面内的射影恰为点．(1)求证:平面,(2)若直线与底面所成的角为.求平面与平面所成锐二面角的余弦值．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，顶点在底面内的射影恰为点．

（1）求证：平面；

（2）若直线与底面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）如图，连接，证明和，平面即得证；

（2）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求出平面与平面所成锐二面角的余弦值．

（1）证明：

如图，连接，则平面，

因为平面，

在等腰梯形中，连接，过点作于点，

，

则

因此满足

又面

所以平面 .

（2）

由（1）知两两垂直，

平面

以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则

设平面的法向量，由得

可得平面的一个法向量

平面的一个法向量，

设平面与平面所成锐二面角为

则.

因此平面与平面所成锐二面角的余弦值为．

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