Question

13．已知四棱锥P-ABCD如图所示，其中平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，PA=AB=BC=AC=4，线段AC被线段BD平分．
（I）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠DAC=30°，求二面角A-PC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出PA⊥AD，PA⊥BD，BD⊥AC，由此能证明BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）设AC∩BD=O，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-PC-B的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，
∴PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，
∵PA=AB=BC=AC=4，线段AC被线段BD平分，
∴BD⊥AC，
∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．
解：（Ⅱ）设AC∩BD=O，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，
过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
A（0，-2，0），P（0，-2，2），C（0，2，0），B（2$\sqrt{3}$，0，0），
$\overrightarrow{PA}$=（0，0，-2），$\overrightarrow{PC}$=（0，4，-2），$\overrightarrow{PB}$=（2$\sqrt{3}$，2，-2），
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=2\sqrt{3}x+2y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=4y-2z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1，2），
平面PAC的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
设二面角A-PC-B的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{\frac{1}{3}+1+4}}$=$\frac{1}{4}$．
∴二面角A-PC-B的余弦值为$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．