Question

如图，过坐标原点O作倾斜角为60°的直线交抛物线Γ：y²=x于P₁点，过P₁点作倾斜角为120°的直线交x轴于Q₁点，交Γ于P₂点；过P₂点作倾斜角为60°的直线交x轴于Q₂点，交Γ于P₃点；过P₃点作倾斜角为120°的直线，交x轴于Q₃点，交Γ于P₄点；如此下去…．又设线段OQ₁，Q₁Q₂，Q₂Q₃，…，Q_n-1Q_n，…的长分别为a₁，a₂，a₃，…，a_n，…，△OP₁Q₁，△Q₁P₂Q₂，△Q₂P₃Q₃，…，△Q_n-1P_nQ_n，…的面积分别为G₁，G₂，G₃，…，G_n，…，数列{a_n}的前n项的和为S_n．
（1）求a₁，a₂；
（2）求a_n，

lim

n→∞

Gn

Sn

；
（3）设bn=aan(a＞0且a≠1)，数列{b_n}的前n项和为T_n，对于正整数p，q，r，s，若p＜q＜r＜s，且p+s=q+r，试比较T_p•T_s与T_q•T_r的大小．

Answer 1

考点：数列与解析几何的综合,数列的极限

专题：计算题,综合题,等差数列与等比数列,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）根据等边三角形的性质，算出点P₁(

a1

2

，

3 a1

2

)，代入抛物线求得a1=

2

3

，同样的方法可算出a2=

4

3

；
（2）由点Q_n-1（S_n-1，0）建立直线Q_n-1P_n的方程，与抛物线方程消去x得关于|y|的方程，解出|y|关于S_n的表示式，根据等边三角形性质和三角函数定义加以计算，化简整理得3

a

2 n

-2an=4Sn-1，用n+1代替n得到3

a

2 n+1

-2an+1=4Sn，将两式作差整理可得{a_n}是以

2

3

为首项、

2

3

为公差的等差数列，再用等差数列通项算出a_n的表达式，从而得到G_n、S_n的表达式，最后根据极限的运算性质即可算出

lim

n→∞

Gn

Sn

的值；
（3）由（2）得{b_n}是公比q0=a

2

3

≠1，首项b1=a

2

3

的正项等比数列．根据等比数列的求和公式求出T_p、T_s、T_q、T_r的表达式，再将T_p•T_s与T_q•T_r作差并结合正整数p，q，r，s构成成等差数列，结合p＜q＜r＜s化简整理可得T_p•T_s-T_q•T_r=-

q

p 0

(

q

q-p 0

-1)(

q

r-p 0

-1)，讨论其中各个因式的符号可得T_p•T_s-T_q•T_r＜0，可得必定有T_p•T_s＜T_q•T_r对任意成等差数列的正整数p、q、r、s且p＜q＜r＜s都成立，得到答案．

解答： 解：（1）如图，由△OQ₁P₁是边长为a₁的等边三角形，得点P₁的坐标为(

a1

2

，

3 a1

2

)，
又∵P₁(

a1

2

，

3 a1

2

)在抛物线y²=x上，所以

3 a 2 1

4

=

a1

2

，得a1=

2

3

…（2分）
同理P₂(

2

3

+

a2

2

，-

3 a2

2

)在抛物线y²=x上，得a2=

4

3

…（4分）
（2）如图，点Q_n-1的坐标为（a₁+a₂+a₃+…+a_n-1，0），即点（S_n-1，0）（点Q₀与原点重合，S₀=0），
所以直线Q_n-1P_n的方程为y=

3

(x-Sn-1)或y=-

3

(x-Sn-1)，
因此，点P_n的坐标满足

y2=x |y|= 3 (x-Sn-1)

消去x，得

3

y2-|y|-

3

Sn-1=0，所以|y|=

1+ 1+12Sn-1

2 3

又∵|y|=an•sin60°=

3

2

an，∴3an=1+

1+12Sn-1

从而3

a

2 n

-2an=4Sn-1…①…（6分）
由①可得3

a

2 n+1

-2an+1=4Sn…②
②-①，得3(

a

2 n+1

-

a

2 n

)-2(an+1-an)=4an
即（a_n+1+a_n）（3a_n+1-3a_n-2）=0，又a_n＞0，于是an+1-an=

2

3

∴{a_n}是以

2

3

为首项、

2

3

为公差的等差数列，an=a1+(n-1)d=

2

3

n…（8分）
因此，Sn=

(a1+an)n

2

=

1

3

n(n+1)Gn=

3

4

a

2 n

=

3

9

n2，
由此可得

lim

n→∞

Gn

Sn

=

lim

n→∞

3 n2

3n(n+1)

=

3

3

…（10分）
（3）因为

bn+1

bn

=

a 2(n+1) 3

a 2n 3

=a

2

3

，
所以数列{b_n}是正项等比数列，且公比q0=a

2

3

≠1，首项b1=a

2

3

=q0，
则Tp=

b1(1- q p 0 )

1-q0

，Tq=

b1(1- q q 0 )

1-q0

，Tr=

b1(1- q r 0 )

1-q0

，Ts=

b1(1- q s 0 )

1-q0

…（12分）
T_p•T_s-T_q•T_r=

b 2 1

(1-q0)2

•[(1-

q

p 0

)(1-

q

s 0

)-(1-

q

q 0

)(1-

q

r 0

)]    （注意到

q

p+s 0

=

q

q+r 0

）
=

b 2 1

(1-q0)2

•[(

q

q 0

+

q

r 0

)-(

q

p 0

+

q

s 0

)]…（14分）
而(

q

q 0

+

q

r 0

)-(

q

p 0

+

q

s 0

)=(

q

q 0

-

q

p 0

)-(

q

s 0

-

q

r 0

)
=

q

p 0

(

q

q-p 0

-1)-

q

r 0

(

q

s-r 0

-1)=(

q

q-p 0

-1)(

q

p 0

-

q

r 0

)      （注意到q-p=s-r）
=(

q

q-p 0

-1)

q

p 0

(1-

q

r-p 0

)=-

q

p 0

(

q

q-p 0

-1)(

q

r-p 0

-1)…（16分）
因为a＞0且a≠1，所以q0=a

2

3

＞0且q0≠1
又q-p，r-p均为正整数，所以(

q

q-p 0

-1)与(

q

r-p 0

-1)同号，
故-

q

p 0

(

q

q-p 0

-1)(

q

r-p 0

-1)＜0，所以，T_p•T_s＜T_q•T_r．…（18分）

点评：本题给出抛物线中的等边三角形，求按图中作出的等边三角形Q_n-1Q_nP_n的边长a_n的表达式，并设b_n=aan，数列{b_n}的前n项和为T_n，在成等差数列的正整数p、q、r、s满足且p＜q＜r＜s的情况下讨论T_p•T_s与T_q•T_r的大小关系．着重考查了抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系、不等式的性质和等差等比数列的通项与求和公式等知识，属于难题．