Question

已知函数f（x）=e^x（x²+ax-a），其中a是常数．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，+∞）上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，求得在x=1处的函数值与斜率，即可确定f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）令f′（x）=e^x[x²+（a+2）x]=0，解得x=-（a+2）或x=0，分类讨论，确定函数的单调性，从而可得函数的极值与最值．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=e^x（x²+ax-a），可得f′（x）=e^x[x²+（a+2）x]．…（2分）
当a=1时，f（1）=e，f′（1）=4e．…（4分）
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-e=4e（x-1），即y=4ex-3e．…（6分）
（Ⅱ）令f′（x）=e^x[x²+（a+2）x]=0，解得x=-（a+2）或x=0．…（8分）
当-（a+2）≤0，即a≥-2时，在区间[0，+∞）上，f′（x）≥0，所以f（x）是[0，+∞）上的增函数．
所以f（x）的最小值为f（0）=-a；         …（10分）
当-（a+2）＞0，即a＜-2时，f′（x），f（x）随x的变化情况如下表

x	0	（0，-（a+2））	-（a+2）	（-（a+2），+∞）
f′（x）	0	-	0	+
f（x）	f（0）	↘	f（-（a+2））	↗

由上表可知函数f（x）的最小值为f（-（a+2））=

a+4

ea+2

．…（13分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，正确求导是关键．