Question

已知A={x|x²-4x+3≤0}，B={x|x²+mx+n＜0}，且A∩B≠∅，A∪B={x|1≤x＜4}，则m²-

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2

n的取值范围为（　　）

• A、[15，19]
• B、[14，18]
• C、[15，19）
• D、[14，18）

Answer 1

考点：交集及其运算,并集及其运算

专题：函数的性质及应用

分析：首先化简集合A=[1，3]，由A∩B≠∅，A∪B={x|1≤x＜4}，得到x=4是方程x²+mx+n=0的一个根，并且对函数f（x）=x²+mx+n在[1，3）上一个根，得到关于m的不等式，求出m的范围，然后将m²-

5

2

n化为关于m的二次函数，求其值域．

解答： 解：由题意，A=[1，3]，
∵A∩B≠∅，A∪B={x|1≤x＜4}，
∴x=4是方程x²+mx+n=0的一个根，即16+4m+n=0，并且另一个根在[1，3）上一个根，
∴设函数f（x）=x²+mx+n，则f（1）f（3）≤0，其中f（3）≠0，
∴

n=-16-m (1+m+n)(9+3m+n)≤0 9+3m+n≠0

，
解得-7＜m≤-5，
∴m²-

5

2

n=m²-

5

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（-16-4m）=m²+10m+40在（-7，-5]上单调递减，并且m=-7时m²-

5

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n的最大值为19，m=-5时，m²-

5

2

n的最小值为15；
∴m²-

5

2

n的取值范围为[15，19），
故选C．

点评：本题考查了集合的运算以及二次函数在区间的值域的求法．