Question

19．以平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{7}cosφ}\\{x=\sqrt{7}sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数，φ∈R）上的点到曲线ρcosθ+ρsinθ=4（ρ，θ∈R）的最短距离是2$\sqrt{2}$-$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 将参数方程化为普通方程，可知两曲线分别为圆与直线，则圆C₁上的点到直线C₂的最短距离是圆心到直线的距离减去半径，即可得到答案．

解答 解：将曲线C₁$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{7}cosφ}\\{x=\sqrt{7}sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数，φ∈R）化为普通方程x²+y²=7，
将曲线C₂ ρcosθ+ρsinθ=4（ρ，θ∈R）化为普通方程x+y=4，
∴圆C₁上的点到直线C₂的最短距离是圆心到直线的距离减去半径，
即要求的最短距离=$\frac{|0+0-4|}{\sqrt{1+1}}$-$\sqrt{7}$=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{7}$．
故答案为：2$\sqrt{2}$-$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了以参数方程形式表示的曲线的之间的最短距离，可以转化为普通方程表示的曲线之间的最短距离．