Question

7．已知两点A（-2，0），B（3，1），如果动点P满足|PA|=2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于$\frac{104}{9}$π．

Answer 1

分析 设P点的坐标为（x，y），利用两点间的距离公式代入等式|PA|=2|PB|，化简整理得（x-$\frac{14}{3}$）²+（y-$\frac{4}{3}$）²=$\frac{104}{9}$，所以点P的轨迹是一个圆，求出圆的半径利用圆面积公式，即可算出所求图形的面积．

解答 解：设P点的坐标为（x，y），
∵A（-2，0）、B（3，1），动点P满足|PA|=2|PB|，
∴$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{（x-3）^{2}+（y-1）^{2}}$，平方得（x+2）²+y²=4[（x-3）²+（y-1）²]，
化简得（x-$\frac{14}{3}$）²+（y-$\frac{4}{3}$）²=$\frac{104}{9}$，
∴点的轨迹是以（$\frac{14}{3}$，$\frac{4}{3}$）为圆心、$\sqrt{\frac{104}{9}}$为半径的圆，
因此，点P的轨迹所包围的图形的面积S=π•（$\sqrt{\frac{104}{9}}$）²=$\frac{104}{9}$π．
故答案为：$\frac{104}{9}$π．

点评 本题给出动点P满足|PA|=2|PB|，求动点的轨迹方程、轨迹所包围的图形的面积．着重考查了两点间的距离公式、圆的标准方程、圆的面积公式和动点轨迹的求法等知识，属于中档题．