Question

10．若正数a，b满足$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=1，则$\frac{1}{a-1}$+$\frac{4}{b-1}$的最小值为4．

Answer 1

分析 由$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=1得到b=$\frac{a}{a-1}$＞0，代入代数式变形利用基本不等式即可得出．

解答 解：∵正数a，b满足$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=1，∴b=$\frac{a}{a-1}$＞0，解得a＞1，同理b＞1，
则$\frac{1}{a-1}$+$\frac{4}{b-1}$=$\frac{1}{a-1}$+$\frac{4}{\frac{a}{a-1}-1}$=$\frac{1}{a-1}$+4（a-1）≥2 $\sqrt{\frac{1}{a-1}•4（a-1）}$=4，当且仅当a=$\frac{3}{2}$时取等号（此时b=3）．
∴$\frac{1}{a-1}$+$\frac{4}{b-1}$的最小值为4．
故答案为：4．

点评 本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．