Question

设y=f（x）是定义在区间D上的函数，对于区间D的非空子集I，若存在常数m∈R，满足：对任意的x₁∈I，都存在x₂∈I，使得

f(x1)+f(x2)

2

=m，则称常数m是函数f（x）在I上的“和谐数”．若函数f（x）=sinx+cosx，x∈R，则函数f（x）在区间[0，π]上的“和谐数”是

 

．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：根据x的范围，可得f（x）=

2

sin（x+

π

4

）∈[-1，

2

]，由此根据题意可得m的值．

解答： 解：∵x∈[0，π]，∴函数f（x）=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），
故当x=

π

4

时，函数f（x）取得最大值为

2

；当x=π时，函数f（x）取得最小值为-

2

×

2

2

=-1，
根据题意可得 m=

2 -1

2

，
故答案为：

2 -1

2

．

点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于中档题．