Question

已知函数f（x）=

|log5(1-x) .  (x＜1) -(x-2)2+2  (x≥1)

，则关于x的方程f（x+

1

x

-2）=a的实根个数不可能为（　　）

• A、5个
• B、6个
• C、7个
• D、8个

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：以f（x）=1的特殊情形为突破口，解出x=1或3或

4

5

或-4，将x+

1

x

-2是为整体，利用换元的思想方法进一步讨论，

解答： 解：因为f（x）=1时，x=1或3或

4

5

或-4，则当a=1时，x+

1

x

-2=1或3或

4

5

或-4，
又因为，x+

1

x

-2≥0或≤-4，
所以当，x+

1

x

-2=-4时只有一个x=-2与之对应．

其它情况都有2个x值与之对应，故此时所求的方程有7个根．

当1＜a＜2时，y=f（x）与y=a有4个交点，故有8个根；

当a=2时，y=f（x）与y=a有3个交点，故有6个根；

综上：不可能有5个根，故选A．
其图象如下图所示：

故选：A．

点评：本题重点考查了分段函数、函数的零点等知识，属于中档题．