Question

已知定义在R上的函数f（x）是周期为3的偶函数，当x∈[0，

3

2

]时，f（x）=sin（πx），则函数f（x）在区间[0，5]上的零点个数为多少？

Answer 1

考点：函数的周期性

专题：函数的性质及应用

分析：根据x∈[0，

3

2

]时，f（x）=sin（πx），求出f（x）的零点是1和0，
再由f（x）是偶函数，求出f（x）在[-

3

2

，

3

2

]上的零点，
根据f（x）是周期为3的函数，求出f（x）在区间[0，5]上的零点．

解答： 解：∵当x∈[0，

3

2

]时，f（x）=sin（πx），
令f（x）=0，则sinπx=0，解得x=1或x=0；
又∵函数f（x）是定义域R上的偶函数，
∴在区间∈[-

3

2

，

3

2

]上，
∴f（-1）=f（1）=f（0）=0，
∴x=-1也是函数的零点；
又∵函数f（x）是周期为3的函数，
∴f（2）=f（-1+3）=0，
f（3）=f（0+3）=f（0）=0，
f（4）=f（1+3）=0，
f（5）=f（-1+2×3）=0；
∴方程f（x）=0在区间[0，5]上的解有0，1，2，3，4，5共6个；
即函数f（x）在区间[0，5]上的零点有6个．

点评：本题考查了函数的周期性与奇偶性的应用问题，也考查了函数零点的应用问题，是中档题目．