Question

已知tan110°=α，求tan10°的值，那么以下四个答案：
①

α+ 3

1- 3 α

；②

α+ 3

3 α-1

；③α+

α2+1

；④α-

α2+1

中，正确的是（　　）

• A、①②
• B、③④
• C、①④
• D、②③

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数

专题：三角函数的求值

分析：由tan110°=α，tan60°=

3

，逆用两角和的正切公式可得

α+ 3

1- 3 α

=-tan10°≠tan10°，可判断①错误，②正确；
由tan20°=

1

cot20°

=-

1

α

，又tan20°=

2tan10°

1-tan210°

，可求得tan10°=

2α± 4α2+4

2

=α±

α2+1

，又tan110°=α＜0，tan10°＞0，可判断③正确，④错误．

解答： 解：对于①，∵tan110°=α，tan60°=

3

，
∴

α+ 3

1- 3 α

=

tan110°+tan60°

1-tan110°tan60°

=tan（110°+60°）=tan170°=-tan10°≠tan10°，故①不正确；
对于②，

α+ 3

3 α-1

=-

α+ 3

1- 3 α

=-[-tan10°]=tan10°，故②正确；
对于③，∵tan110°=tan（90°+20°）=-cot20°=α，
∴tan20°=

1

cot20°

=-

1

α

，又tan20°=

2tan10°

1-tan210°

，
∴

2tan10°

1-tan210°

=-

1

α

，整理得：tan²10°-2αtan10°-1=0，
解得：tan10°=

2α± 4α2+4

2

=α±

α2+1

，又tan110°=α＜0，tan10°＞0，
故tan10°=α+

α2+1

，故③正确，而④错误．
故选：D．

点评：本题考查两角和与差的正切，着重考查两角和的正切的逆用及二倍角的正切公式、诱导公式的应用，考查转化思想．