Question

已知O为△ABC的外心，AB=2a，AC=

2

a

（a＞0），∠BAC=120°，若

AO

=x

AB

+y

AC

（x，y为实数），则x+4y的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式,平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：根据几何图形求解出O点的坐标，先求出

AB

，

AC

的坐标，再由

AO

=x

AB

+y

AC

（x，y为实数）运用向量的坐标相等求解出x，y的值，得出x+4y=

1

3

×（

1

a2

+4a²）+

10

3

运用基本不等式求解即可得出最小值．

解答： 解：∵O为△ABC的外心，AB=2a，AC=

2

a

（a＞0），∠BAC=120°
∴建立坐标系如图：过O作AB的垂直平分线，垂足为E，
A（0，0），C（

2

a

，0），B（-a，

3

a），E（-

a

2

，

3 a

2

），O（，

1

a

，m）

∵∠BAC=120，
∴

m- 3 a 2

1 a + a 2

=

3

3

，
化简多得出：m=

3

3a

+

2 3 a

3

，
∴O（

1

a

，

3

3a

+

2 3 a

3

）
∴

AC

=（

2

a

，0），

AB

=（-a，

3

a），

AO

=（

1

a

，

3

3a

+

2 3 a

3

），
∵

AO

=x

AB

+y

AC

（x，y为实数），
∴

1 a =-ax+ 2y a 3 3a + 2 3 3 a= 3 xa

解得：x=

1

3a2

+

2

3

，2y=

4

3

+

2

3

a²，
∴x+4y=

1

3

×（

1

a2

+4a²）+

10

3

≥

1

3

×4+

10

3

=

14

3

x+4y的最小值为：

14

3

，
故答案为：

14

3

点评：本题考查了平面向量的坐标运算，结合基本不等式求解，属于中档题，关键是准确求解向量的坐标．