Question

已知在（

x

+

3	x

）ⁿ（其中n＜15）的展开式中：
（1）求二项式展开式中各项系数之和；
（2）若展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列，求n的值；
（3）在（2）的条件下写出它展开式中的有理项．

Answer 1

考点：二项式定理的应用

专题：计算题,二项式定理

分析：（1）由二项式系数即为该项的系数，再由二项式系数的性质，即可得到；
（2）由展开式中的通项，得到各项的二项式系数，再由等比数列的性质，结合组合数公式，化简整理，解方程即可求出n；
（3）写出通项，化简整理，判断r是6的倍数，又0≤r≤14，列举出所有的有理项即可．

解答： 解：（1）∵二项展开式中各项的系数就是各项的二项式系数

C

0 n

，

C

1 n

，

C

2 n

，…，

C

n n

，
∴各项系数之和为

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n n

=2n
（2）(

x

+

3	x

)n（其中n＜15）的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别是

C

8 n

，

C

9 n

，

C

10 n

．
依题意得

C

8 n

+

C

10 n

=2

C

9 n

，
写成：

n!

8!(n-8)!

+

n!

10!(n-10)!

=2•

n!

9!(n-9)!

，
化简得90+（n-9）（n-8）=2•10（n-8），
即：n²-37n+322=0，解得n=14或n=23，
∵n＜15，∴n=14．
（2）展开式的通项Tr+1=

C

r 14

x

14-r

2

x

r

3

=

C

r 14

x

42-r

6

∴展开式中的有理项当且仅当r是6的倍数，又0≤r≤14，
∴展开式中的有理项共3项是：r=0，T1=

C

0 14

x7=x7；r=6，T7=

C

6 14

x6=164x6；r=12，T13=

C

12 14

x5=91x5

点评：本题主要考查二项式定理的运用，注意运用通项公式求某一项，区别二项式系数与某一项的系数，注意隐含条件的运用，考查组合数的公式及指数的运算，属于中档题．