Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=2，n•a_n+1=S_n+n（n+1），
（1）证明数列{a_n}为等差数列，并求其通项公式；
（2）令T_n=

Sn

2n

，①当n为何正整数值时，T_n＞T_n+1：
②若对一切正整数n，总有T_n≤m，求m的取值范围．

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用n•a_n+1=S_n+n（n+1），再写一式两式相减，即可证明数列{a_n}为首项为2，公差为2的等差数列，从而可求其通项公式；
（2）①利用T_n＞T_n+1，即可求出n的值；
②确定各项中数值最大为

3

2

，从而求m的取值范围．

解答： （1）证明：令n=1时，1•a₂=S₁+1•2，即a₂-a₁=2，
∵n•a_n+1=S_n+n（n+1），
∴n≥2时，（n-1）•a_n=S_n-1+n（n-1），
两式相减整理得：a_n+1-a_n=2，
∵a₁=2，
∴数列{a_n}为首项为2，公差为2的等差数列，
∴a_n=2n；
（2）解：①T_n=

Sn

2n

=

n(n+1)

2n

＞T_n+1=

(n+1)(n+2)

2n+1

，
∴n＞2；
②∵T₁=1，T₂=T₃=

3

2

，T_n＞T_n+1，
∴各项中数值最大为

3

2

，
∵对一切正整数n，总有T_n≤m，
∴m≥

3

2

．

点评：本题考查等差数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．