Question

（1）用综合法证明：a+b+c≥

ab

+

bc

+

ca

（a，b，c∈R⁺）
（2）若下列方程：x²=4ax-4a+3=0，x²+（a-1）x+a²=0，x²+2ax-2a=0，至少有一个方程有实根，试求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：反证法与放缩法,综合法与分析法(选修）

专题：选作题,反证法,不等式的解法及应用

分析：（1）利用2（a+b+c）-2（

ab

+

bc

+

ca

）=（

a

-

b

）²+（

b

-

c

）²+（

c

-

a

）²≥0，可得结论；
（2）至少有一个方程有实根的对立面是三个方程都没有根，由于正面解决此问题分类较多，而其对立面情况单一，故求解此类问题一般先假设没有一个方程有实数根，然后由根的判别式解得三方程都没有根的实数a的取值范围，其补集即为个方程 x²+4ax-4a+3=0，x²+（a-1）x+a²=0，x²+2ax-2a=0至少有一个方程有实根成立的实数a的取值范围．此种方法称为反证法

解答： （1）证明：由于2（a+b+c）-2（

ab

+

bc

+

ca

）=（

a

-

b

）²+（

b

-

c

）²+（

c

-

a

）²≥0，
∴2（a+b+c）≥2（

ab

+

bc

+

ca

），
∴a+b+c≥

ab

+

bc

+

ca

；
（2）解：假设没有一个方程有实数根，则：
16a²-4（3-4a）＜0（1）
（a-1）²-4a²＜0（2）
4a²+8a＜0（3）
解之得：-1.5＜a＜-1
故三个方程至少有一个方程有实根的a的取值范围是：{a|a≥-1或a≤-1.5}．

点评：本题主要考查用综合法（由因导果）证明不等式、考查反证法，用反证法证明数学命题，推出矛盾，是解题的关键和难点．属于中档题．