Question

已知z是复数，z+2i、

z

2-i

均为实数（i为虚数单位），
（1）若复数（z+ai）²在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
（2）若复数z₁=cosθ+isinθ（0≤θ≤π），求复数|z-z₁|的取值范围．

Answer 1

考点：复数代数形式的混合运算

专题：数系的扩充和复数

分析：利用已知条件求出复数z，（1）列出复数的实部与虚部满足的不等式，求出范围即可．
（2）利用复数模求解三角函数的最值即可．

解答： 解：z是复数，z+2i、

z

2-i

均为实数，
设z=x-2i，则

x-2i

2-i

=

(x-2i)(2+i)

(2-i)(2+i)

=

2x+2+(x-4)i

5

，∴x=4．
z=4-2x．
（1）复数（z+ai）²=（4-2i+ai）²=16-（2-a）²-8（2-a）i．
复平面上对应的点在第一象限．

12+4a-a2＞0 8a-16＞0

，解得2＜a＜6．
（2）复数z₁=cosθ+isinθ（0≤θ≤π），
复数|z-z₁|=|4-2i-cosθ-isinθ|=

(4-cosθ)2+(-2-sinθ)2

=

21+4sinθ-8cosθ

=

21+4 5 sin(θ+γ)

．tanγ=-2，2

5

-1≤

21+4 5 sin(θ+γ)

≤2

5

+1．
复数|z-z₁|的取值范围：[2

5

-1，2

5

+1]．

点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念的应用以及复数的模的求法．