Question

已知数列{a_n}的第1项a₁=1，且a_n+1=

an

1+an

（n=1，2，3，…）
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄的值，猜想数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）请证明你的猜想．

Answer 1

考点：数列递推式,等差关系的确定

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）由a₁=1，即a_n+1=

an

1+an

逐次求得a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）由递推式构造数列{

1

an

}是以

1

a1

=1为首项，1为公差的等差数列，由等差数列的通项公式求出

1

an

，则{a_n}的通项公式可求，从而证得结论．

解答： （Ⅰ）解：由a₁=1，且an+1=

an

1+an

(n=1，2，3，…)，
得：a2=

a1

1+a1

=

1

2

，
a3=

a2

1+a2

=

1 2

1+ 1 2

=

1

3

，
a4=

a3

1+a3

=

1 3

1+ 1 3

=

1

4

．
猜想an=

1

n

(n=1，2，3，…)；
（Ⅱ）证明：∵a₁=1，且an+1=

an

1+an

(n=1，2，3，…)，
∴

1

an+1

=

1+an

an

=

1

an

+1，即

1

an+1

-

1

an

=1，
因此{

1

an

}是以

1

a1

=1为首项，1为公差的等差数列，
故

1

an

=1+(n-1)=n，
即an=

1

n

(n=1，2，3，…)．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，是中档题．