Question

.已知f（x）=ax⁵-bx³+c（a＞0）．若f（x）在x=±1处有极值，且极大值为4，极小值为1，求a、b、c．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：先求出函数的导数，依题意知x=-1，x=1为方程5ax²-3b=0的两根．于是5a=3b，从而有f（x）=ax⁵-

5

3

ax³+c，再由函数的单调性得出方程组，求出a，b，c即可．

解答： 解：f′（x）=5ax⁴-3bx²=x²（5ax²-3b），
依题意知x=-1，x=1为方程5ax²-3b=0的两根．
∴5a=3b．
∴f′（x）=5ax²（x²-1）=5ax²（x+1）（x-1）．
f（x）=ax⁵-

5

3

ax³+c．
∵a＞0，∴有下表

x	（-∞，-1）	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	_	0	-	0	+
f（x）	递增	2 3 a+c	递减		递减	- 2 3 a+c	递增

∴

2 3 a+c=4 - 2 3 a+c=1

，
解得a=

9

4

，c=

5

2

，b=

15

4

．

点评：本题考察了函数的单调性，函数的极值问题，导数的应用，是一道基础题．