Question

已知数列{a_n}满足a₂=

1

3

，a_n=

1

3

（1-a_n-1），求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：由数列递推式结合a₂=

1

3

求得a₁，再由数列递推式构造出等比数列{an-

1

4

}，求出其通项公式，则数列{a_n}的通项公式可求．

解答： 解：由a_n=

1

3

（1-a_n-1），得an=-

1

3

an-1+

1

3

，
即an-

1

4

=-

1

3

(an-1-

1

4

)，
再由a₂=

1

3

，a_n=

1

3

（1-a_n-1），得a₁=0，
∴a1-

1

4

=-

1

4

．
∴数列{an-

1

4

}是以-

1

4

为首项，以-

1

3

为公比的等比数列．
则an-

1

4

=-

1

4

×(-

1

3

)n-1，
∴an=

1

4

-

1

4

×(-

1

3

)n-1．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，是中档题．