Question

某公司经销某种产品，每件产品的成本为6元，预计当每件产品的售价为x元（9≤x≤11）时，一年的销售量为（12-x）²万件．
（1）求公司一年的利润y（万元）与每件产品的售价x的函数关系；
（2）当每件产品的售价为多少时，公司的一年的利润y最大，求出y最大值．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：应用题,导数的综合应用

分析：（1）年利润=（单价-成本）×年销售量；
（2）利用导数的符号可判断函数在[9，11]上的单调性，由单调性可求得最大值．

解答： 解：（1）由题意，得y=（x-6）×（12-x）²=（x³-30x²+288x-144×6）（9≤x≤11 ），
∴公司一年的利润y（万元）与每件产品的售价x的函数关系为：
y=（x³-30x²+288x-144×6）（9≤x≤11 ）；
（2）y'=（3x²-60x+288），
令y'=0，即x²-20x+96=0，（x-12）（x-8）=0，解得x=8，x=12，
当x∈（-∞，+8），x∈（12，+∞） 时y为增函数，当x∈（8，12）时y为减函数，
又x∈[9，11]，
∴当x∈[9，11]时y为减函数，
∴当x=9 时，ymax=3×32=27 （万元），
答：当每件产品的售价为9元时，一年的利润最大为27万元．

点评：该题考查利用导数研究函数的最值，根据实际问题正确构建函数模型是解决该题的关键．