Question

【题目】在直角坐标系xOy中，动点P与定点的距离和它到定直线的距离之比是，设动点P的轨迹为E．

（1）求动点P的轨迹E的方程；

（2）设过F的直线交轨迹E的弦为AB，过原点的直线交轨迹E的弦为CD，若，求证：为定值．

Answer 1

【答案】（1）

（2）证明见解析

【解析】

（1）设点，根据动点P与定点的距离和它到定直线的距离之比是，列出等式，再化简即可得出答案.

（2）设出直线AB与直线CD，联立直线与椭圆，即可得出、的值，即可求出.

解：（1）设点，由题意得，将两边平方，并简化得，

故轨迹的方程是．

（2）证明：①当直线AB的斜率不存在时，易求，，

则．

②当直线AB的斜率存在时，

设直线AB的斜率为k，依题意，

则直线AB的方程为，直线CD的方程为．

设，，，，

由得

．

则，，

由整理得，则．

．

∴．

综合①②知：为定值．