[题目]如图1.一个铝合金窗是由一个框架和部分外推窗框组成.其中框架设计如图2.其结构为上.下两栏.下栏为两个完全相同的矩形.四周框架和中间隔栏的材料为铝合金.宽均为.上栏和下栏的框内矩形高度比为.此铝合金窗占用的墙面面积为.设该铝合金窗的宽和高分别..铝合金的透光部分的面积为(外推窗框遮挡光线部分忽略不计)．(1)试用.表示,(2)若要使最大.则铝合金窗的宽和高分别为� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图1，一个铝合金窗是由一个框架和部分外推窗框组成，其中框架设计如图2，其结构为上、下两栏，下栏为两个完全相同的矩形，四周框架和中间隔栏的材料为铝合金，宽均为，上栏和下栏的框内矩形高度（不含铝合金部分）比为，此铝合金窗占用的墙面面积为，设该铝合金窗的宽和高分别，，铝合金的透光部分的面积为（外推窗框遮挡光线部分忽略不计）．

（1）试用，表示；

（2）若要使最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？

【答案】（1）（2）宽为，高为

【解析】

（1）根据题意设上栏框内高度为，下栏框内高度为，则，，即可表示出透光面积；

（2）根据基本不等式，等号成立的时刻即为所求.

解：（1）铝合金窗的宽和高分别为，，，，

由已知，①

设上栏框内高度为，下栏框内高度为，

则，，

所以透光部分的面积

；

（2）因为，，

所以，

当且仅当时等号成立，此时，

代入①式得，从而，

即当，时，取得最大值.

答：铝合金窗的宽度为，高为时，可使透光部分的面积最大.

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