Question

16．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，面PAD⊥面ABCD，PA=PD=CD=BC=1，AB=2，AD=$\sqrt{2}$．
（1）证明：AP⊥面PBD．
（2）若点E是线段PB上一点，且$\overrightarrow{PE}$=2$\overrightarrow{EB}$，求三棱锥P-ADE的体积．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理证明BD⊥AD，AP⊥PD，根据线面垂直的判定定理，证明AP⊥面PBD．
（2）转换底面，即可求三棱锥P-ADE的体积．

解答 （1）证明：在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，CD=BC=1，AB=2，AD=$\sqrt{2}$．
∴AD²+BD²=AB²，
∴BD⊥AD，
∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，
∴BD⊥面PAD，
∴BD⊥AP，
∵PA=PD=1，AD=$\sqrt{2}$，
∴PA²+PD²=AD²，
∴AP⊥PD，
∵BD∩PD=D，
∴AP⊥面PBD．
（2）解：由（1）BD⊥面PAD，
∵$\overrightarrow{PE}$=2$\overrightarrow{EB}$，
∴E到平面PAD的距离=$\frac{2}{3}$BD=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴三棱锥P-ADE的体积=三棱锥E-PAD的体积=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{9}$．

点评 本题考查线面垂直的判定定理，考查三棱锥P-ADE的体积，正确运用线面垂直的判定定理是关键．