Question

8．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=AA₁=3，AC⊥BC，点M在线段AB上．
（1）若M是AB中点，证明AC₁∥平面B₁CM；
（2）当BM=$\sqrt{2}$时，求直线C₁A₁与平面B₁MC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连结BC₁，交B₁C于E，连结ME，根据中位线定理得出AC₁∥EM，故而AC₁∥平面B₁CM；
（2）以C为原点建立空间坐标系，求出平面B₁MC的法向量$\overrightarrow{n}$和$\overrightarrow{{C}_{1}{A}_{1}}$的坐标，计算$\overrightarrow{n}$和$\overrightarrow{{C}_{1}{A}_{1}}$的夹角的余弦值即可得出线面角的正弦值．

解答 解：（1）证明：连结BC₁，交B₁C于E，连结ME．
∵侧面B B₁C₁C为矩形，
∴E为BC₁的中点，又M是AB的中点，
∴ME∥AC₁．
又 ME?平面B₁CM，AC₁?平面B₁CM，
∴AC₁∥平面B₁C M．
（2）以C为原点，以CB，CA，CC₁为坐标轴建立空间直角坐标系C-xyz如图所示：
则B₁（0，3，3），A₁（3，0，3），A（3，0，0），B（0，3，0），C₁（0，0，3），AB=3$\sqrt{2}$，∴BM=$\frac{1}{3}$BA．
∴$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（0，3，3），$\overrightarrow{CM}$=（1，2，0），$\overrightarrow{{C}_{1}{A}_{1}}$=（3，0，0）．
设平面B₁MC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{B}_{1}}$=0，$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CM}=0$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3y+3z=0}\\{x+2y=0}\end{array}\right.$，令z=1得$\overrightarrow{n}$=（2，-1，1）．
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{{C}_{1}{A}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}{A}_{1}}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{{C}_{1}{A}_{1}}|}$=$\frac{6}{\sqrt{6}•3}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故当BM=$\sqrt{2}$时，直线C₁A₁与平面B₁MC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，空间向量的应用与线面角的计算，属于中档题．