Question

3．设变量x、y满足下列条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2≤0}\\{x-y+1≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，则z=xy的最大值为1．

Answer 1

分析 作出可行域（如图△ABC），通过讨论（x，y）所在的区域，然后求解xy最值．

解答 解：作出$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2≤0}\\{x-y+1≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，所对应的可行域（如图△ABC），
变形目标函数可得z=xy，当点（x，y）在三角形BCD区域时，
B处xy最大，$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2=0}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{1}{2}$，y=$\frac{3}{2}$，此时xy=$\frac{3}{4}$，
当（x，y）在三角形ABD时，（x，y）在线段AB上取得最大值，
xy=x（2-x）=2x-x²，x∈[$\frac{1}{2}$，2]，
2x-x²=-（x-1）²+1，当x=1时，xy取得最大值：1．
故答案为：1．

点评 本题考查简单线性规划，准确作图以及分类讨论，二次函数的最值是解决问题的关键，属中档题．