Question

11．已知曲线C₁、C₂的极坐标方程分别为ρ=2sinθ，$\sqrt{2}$ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=-1，则曲线C₁上的点与曲线C₂上的点的最短距离为$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 把极坐标方程分别化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离d，即可得出最小距离为d-r．

解答 解：曲线C₁的极坐标方程分别为ρ=2sinθ，ρ²=2ρsinθ，化为直角坐标方程：x²+y²=2y，配方为：x²+（y-1）²=1，可得圆心C₁（0，1），半径r=1．
曲线C₂的极坐标方程$\sqrt{2}$ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=-1，展开为：$\sqrt{2}$ρ×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosθ+sinθ）=-1，可得直角坐标方程：x+y+1=0．
则圆心C₁（0，1）到直线C₂的距离d=$\frac{|0+1+1|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴曲线C₁上的点与曲线C₂上的点的最短距离为$\sqrt{2}$-1．
故答案为：$\sqrt{2}$-1．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．