Question

8．已知点A（6，2），B（3，2），动点M满足|MA|=2|MB|．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）设M的轨迹与y轴的交点为P，过P作斜率为k的直线l与M的轨迹交于另一点Q，若C（1，2k+2），求△CPQ面积的最大值，并求出此时直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设M（x，y），由|MA|=2|MB|，利用两点之间的距离公式即可得出．
（2）令x=0，可得P（0，2）．直线l的方程为：y=kx+2，（k≠0）代入圆的方程可得：（1+k²）x²-4x=0，解出可得Q坐标，|PQ|．求出点C到直线l的距离d，△CPQ面积S=$\frac{1}{2}$|PQ|•d，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）设M（x，y），∵|MA|=2|MB|，
∴$\sqrt{（x-6）^{2}+（y-2）^{2}}$=2$\sqrt{（x-3）^{2}+（y-2）^{2}}$，
化为：（x-2）²+（y-2）²=4．
（2）令x=0，解得y=2，∴P（0，2）．
直线l的方程为：y=kx+2，（k≠0）代入圆的方程可得：（1+k²）x²-4x=0，
解得x=0，或x=$\frac{4}{1+{k}^{2}}$．
∴Q$（\frac{4}{1+{k}^{2}}，\frac{4k}{1+{k}^{2}}+2）$．
∴|PQ|=$\sqrt{（\frac{4}{1+{k}^{2}}）^{2}+（\frac{4k}{1+{k}^{2}}+2-2）^{2}}$=$\frac{4}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
点C到直线l的距离d=$\frac{|k-（2k+2）+2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
∴△CPQ面积S=$\frac{1}{2}$|PQ|•d=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$×$\frac{|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{2|k|}{1+{k}^{2}}$=$\frac{2}{\frac{1}{|k|}+|k|}$≤$\frac{2}{2}$=1，当且仅当|k|=1时取等号．
∴△CPQ面积的最大值1时，此时直线l的方程为：y=±x+2．

点评 本题考查了圆的标准方程及其性质、直线与圆相交弦长问题、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式、基本不等式的性质、两点之间距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．