Question

已知函数 .
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）证明：.

Answer 1

解：（1）的定义域为（0，+∞），…2分
当时，＞0，故在（0，+∞）单调递增；
当时，＜0，故在（0，+∞）单调递减；……………4分
当-1＜＜0时，令=0，解得.
则当时，＞0；时，＜0.
故在单调递增，在单调递减. …………6分
（2）因为，所以
当时，恒成立
令，则,              ……………8分
因为，由得，
且当时，；当时，.
所以在上递增，在上递减.所以，
故                               ……………………10分
（3）由（2）知当时，有，当时，即，
令，则，即      …………12分
所以，，…，，
相加得
而
所以，.……………………14分

 略