Question

（本题满分15分）
函数，其中。
（1）若函数在其定义域内是单调函数，求的取值范围；
（2）若对定义域内的任意，都有，求的值；
（3）设，。当时，若存在，
使得，求实数的取值范围。

Answer 1

（1）。由题设，在内恒成立，或在内恒成立。
若，则，即恒成立，显然在内的最大值为，所以，。
若，则，显然该不等式在内不恒成立。
综上，所求的取值范围为。
（2）由题意，是函数的最小值，也是极小值。因此，，解得。经验证，符合题意。
（3）由（1）知，当时，在内单调递增，从而在上单调递增，因此，在上的最小值，最大值
。
，由知，当时，，因此，在上单调递减，在上的最小值，最大值
，因，所以。
①若，即时，两函数图象在上有交点，此时
显然满足题设条件。
②若，即时，的图象在上，的图象在下，只需，即，即，
解得。
综上，所求实数的取值范围为。

略