Question

14．已知f（x）=$\frac{{π}^{|x|}}{x}$+x-$\frac{3}{x}$，则y=f（x）的零点个数是（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 由题意，本题即求方程 π$\frac{|x|}{x}$=$\frac{3}{x}$-x的解的个数．即求当x＞0时，函数y=x+1与函数y=$\frac{3}{x}$的图象的交点个数；当x＜0时，函数y=x-1与函数y=$\frac{3}{x}$的图象的交点个数．数形结合可得结论．

解答 解：已知f（x）=$\frac{{π}^{|x|}}{x}$+x-$\frac{3}{x}$，则y=f（x）的零点个数，即方程 π$\frac{|x|}{x}$=$\frac{3}{x}$-x的解的个数．
当x＞0时，方程即x+1=$\frac{3}{x}$，故该方程解的个数即函数y=x+1与函数y=$\frac{3}{x}$的图象的交点个数．
当x＜0时，方程即x-1=$\frac{3}{x}$，故该方程解的个数即函数y=x-1与函数y=$\frac{3}{x}$的图象的交点个数，
数形结合可得，方程 π$\frac{|x|}{x}$=$\frac{3}{x}$-x的解的个数为2，
故选：C．

点评 本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．