Question

2．已知函数f（x）=lnx-ax²+ax有两个零点，则实数a的取值范围为a＞0且a≠1．

Answer 1

分析 方程 lnx-ax²+ax=0有两解?方程$\frac{lnx}{x}=a（x-1）$恰有两解．即两个函数图象有两个交点．利用导数研究函数的单调性极值与最值，即可得出．

解答 解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），由题知方程 lnx-ax²+ax=0，即方程$\frac{lnx}{x}$=a（x-1）恰有两解．
设g（x）=$\frac{lnx}{x}$，则g'（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
∴当0＜x＜e时，g'（x）＞0，当x＞e时，g'（x）＜0，
∴g（x）在（0，e）上是增函数，在（e，+∞）上是减函数，且g（1）=0，
作出函数y=g（x）与函数y=a（x-1）的图象如下图所示：

∵当x＞e时，g（x）＞0，且g'（1）=1，
∴g（x）在（1，0）处的切线方程为y=x-1，
∴当0＜a＜1或a＞1时，函数y=g（x）的图象与函数y=a（x-1）的图象恰有2个交点．
故答案为：a＞0且a≠1．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了转化能力与计算能力，属于难题．