Question

3．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＞f（x），且f（x+2）为奇函数，f（4）=-1，则不等式f（x）＜e^x的解集为（　　）

• A． （-2，+∞）
• B． （0，+∞）
• C． （1，+∞）
• D． （-∞，0）

Answer 1

分析 令h（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，利用导数和已知即可得出其单调性．再利用函数的奇偶性和已知可得h（0）=1，即可得出．

解答 解：设h（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，则h′（x）=$\frac{{e}^{x}（f′（x）-f（x））}{{e}^{2x}}$，
∵f′（x）＞f（x），∴h′（x）＞0．
∴函数h（x）是R上的增函数，
∵函数f（x+2）是奇函数，
∴f（-x+2）=-f（x+2），
∴函数关于（2，0）对称，
∴f（0）=-f（4）=1，
原不等式等价为h（x）＜1，
∴不等式f（x）＜e^x等价h（x）＜1?h（x）＜h（0），
∴$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＜1=$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$．
∵h（x）在R上单调递增，
∴x＜0．
故选：D．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用函数的单调性解不等式、函数的奇偶性及对称性的应用．